দুইটি সংখ্যার বিয়োগফল y। বড় সংখ্যাটি z হলে, ছোটটি কত?

একজন ক্রেতা 3 কেজি পাটালি গুড় কিনতে চান। দোকানদার x কেজি ওজনের একটি বড়ো পাটালির অর্ধেক মাপলেন। কিন্তু এতে 3 কেজির কম হলো। আরও 1 কেজি দেওয়ায় 3 কেজি হলো। আমরা এখন বের করতে চাই, বড়ো পাটালি অর্থাৎ সম্পূর্ণ পাটালিটির ওজন কত ছিল, অর্থাৎ x এর মান কত? এ জন্য সমস্যাটি থেকে একটি সমীকরণ গঠন করতে হবে। এক্ষেত্রে সমীকরণটি হবে $\frac{x}{2}+1=3$ । সমীকরণটি সমাধান করলে x এর মান পাওয়া যাবে। অর্থাৎ, গুড়ের সম্পূর্ণ পাটালির ওজন জানা যাবে।

উদাহরণ ৭। অহনা একটি পরীক্ষায় ইংরেজিতে ও গণিতে মোট 176 নম্বর পেয়েছে এবং ইংরেজি অপেক্ষা গণিতে 10 নম্বর বেশি পেয়েছে। সে কোন বিষয়ে কত নম্বর পেয়েছে?

সমাধান: ধরি, অহনা ইংরেজিতে x নম্বর পেয়েছে।

সুতরাং, সে গণিতে পেয়েছে (x+10) নম্বর।

প্রশ্নমতে,

x + x + 10 = 176

বা, 2x + 10 = 176

বা, 2x = 176 - 10 [পক্ষান্তর করে]

বা, 2x = 166

বা, $\frac{2x}{2}=\frac{166}{2}$[উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, = 83

∴ x + 10 = 83 + 10 = 93

∴ অহনা ইংরেজিতে পেয়েছে 83 নম্বর এবং গণিতে পেয়েছে 93 নম্বর।

উদাহরণ ৮। শ্যামল দোকান থেকে কিছু কলম কিনল। সেগুলোর $\frac{1}{2}$অংশ তার বোনকে ও $\frac{1}{3}$অংশ তার ভাইকে দিল। তার কাছে আর 5 টি কলম রইল। শ্যামল কয়টি কলম কিনেছিল?

সমাধান: ধরি, শ্যামল Xটি কলম কিনেছিল।

∴ শ্যামল তার বোনকে দেয় x এর $\frac{1}{2}$টি বা $\frac{x}{2}$টি কলম এবং তার ভাইকে দেয় x এর $\frac{1}{3}$টি বা $\frac{x}{3}$টি কলম ।

শর্তানুসারে, $x-\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\right)=5$

বা, $x-\left(\frac{x}{2}+\frac{x}{3}\right)=5$

বা, $\frac{6x - 3x - 2x}{6} = 5$[বামপক্ষে হর 2,3 এর ল.সা.গু. 6]

বা, $\frac{x}{6}=5$

বা, x = 5 $\times$6 [আড়গুণন করে]

বা, x = 30

∴ শ্যামল 30 টি কলম কিনেছিল।

উদাহরণ ৯। একটি বাস ঘণ্টায় 25 কি.মি. গতিবেগে ঢাকার গাবতলী থেকে আরিচা পৌঁছাল। আবার বাসটি ঘণ্টায় 30 কি.মি. গতিবেগে আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে এলো। যাতায়াতে বাসটির মোট $5\frac{1}{2}$ঘণ্টা সময় লাগল। গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব কত?

সমাধান: মনে করি, গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব d কি.মি.।

∴ গাবতলী থেকে আরিচা যেতে সময় লাগে $\frac{d}{25}$ঘণ্টা।

আবার আরিচা থেকে গাবতলী ফিরে আসতে সময় লাগে $\frac{d}{30}$ঘণ্টা।

∴ যাতায়াতে বাসটির মোট সময় লাগল $\left(\frac{d}{25}+\frac{d}{30}\right)$ঘণ্টা।

প্রশ্নমতে, $\frac{d}{25}+\frac{d}{30}=5\frac{1}{2}$

বা, $\frac{6d + 5d}{150} = \frac{11}{2}$

বা, $11d{=}^{75}\cancel{150} \times \frac{11}{{\cancel{2}}_1}$

বা, d = 75

∴ গাবতলী থেকে আরিচার দূরত্ব 75 কি.মি.।

উদাহরণ ১০। দুটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার অন্তর 40 এবং তাদের অনুপাত 1 : 3.

ক) সংখ্যা দুটিকে x ও y ধরে সমীকরণ গঠন কর।
খ) সংখ্যা দুটি নির্ণয় কর।
গ) সংখ্যা দুটিকে আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ এর একক মিটারে ধরে আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা ও ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

(ক) মনে করি, সংখ্যা দুটি x ও y

প্রশ্নমতে x-y=40 ………….. (i)

এবং y : x=1 : 3

বা, $\frac{y}{x}=\frac{1}{3}$

বা, x=3y ………….. (ii)

(খ) ক থেকে প্রাপ্ত

x - y = 40 …………… (i)

x = 3y ………………… (ii)

(i) ও (ii) নং থেকে পাই,

3y - y = 40

বা, 2y = 40

বা, $y =\frac{40}{2}$

∴ y = 20

(ii) নং y = 20 বসিয়ে পাই,

x = 3 $\times$ 20 = 60

∴ x = 60

∴ সংখ্যা দুটি 60 ও 20

গ) 'খ' থেকে প্রাপ্ত

সংখ্যা দুটি 60 ও 20 ।

ধরি, আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য 60 মিটার

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ 20 মিটার

∴ আয়তক্ষেত্রটির পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)

= 2(60+20) মিটার

= 2$\times$80 মিটার

=160 মিটার

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য $\times$ প্রস্থ

= 60 মি. $\times$ 20 মি.

= 1200 ব.মি.